선형연립방정식의 해의 종류

이전 시간에는 가장 간단한 형태의 일차연립방정식의 해법에 대해 알아보았습니다. 이번 글에서는 일차연립방정식의 해의 종류와 그 판별법에 대해 알아봅시다. 그 전에 용어에 대한 정리를 해볼까요? 이번 시간부터는 일차연립방정식을 선형연립방정식으로 고쳐 부를 것입니다.

 

일차식이 선형(linear)라고 불리는 이유는 일차연립방정식을 이루는 방정식들이 말 그대로 직선이거나 평면같이 굴곡진 형태가 아니기 때문입니다. 굳이 이러한 선형 방정식만을 따로 공부하는 이유는 선형성이 가지는 특수함에 있습니다. 이러한 특성에 대해서는 다음에 다시 언급하도록 하겠습니다.

 

이제부터는 이전 시간에 배웠던 $2$차원 공간을 넘어 $3$차원, 더 높은 $n$ 차원의 공간의 선형연립방정식을 다룰 것이기 때문에 먼저 $n$개의 미지수를 갖는 선형연립방정식의 일반화된 표현을 보여드리겠습니다.

 

$$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\\qquad\qquad\qquad\qquad\vdots\\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + a_{m3}x_3 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m\end{cases}$$

 

위 선형연립방정식은 $n$ 개의 변수와 $m$ 개의 방정식으로 이루어져 있고 $x$ 앞에 곱해져있는 $a_{ij} = \{a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{mn}\}$들은 이 연립방정식의 계수(coefficient)라 합니다. 이 계수들은 다음 시간에 소개할 행렬에 직접적으로 쓰이게 되며 선형연립방정식의 성격을 결정하는 중요한 역할을 합니다.

 

우리가 이번시간에 보게될 설명은 저 연립방정식에 포함된 모든 방정식들을 만족시켜주는 해 $x_1,\ x_2,\ x_3, \cdots,\ x_n$ 의 종류에 대한 것입니다.

 

참고로 연립방정식은 두 종류로 나눌 수 있는데, 모든 $b_i = \{b_1, b_2, \cdots, b_m\}$ 에 대해 $b_i = 0$ 이면 이 연립방정식은 동차(또는 제차)라 하고, 그렇지 않으면 비동차(또는 비제차)라고 합니다. 이 글에선 동차와 비동차라는 표현을 채택하겠습니다. 어떤 연립방정식이 동차형이라면 그 연립방정식은 최소한 $x_1 = 0,\ x_2 = 0,\ x_3 = 0, \cdots,\ x_n = 0$ 이라는 자명한 해를 갖게됩니다.

 

기본적인 설명은 모두 끝났으니 이제 선형연립방정식의 해의 종류에 대해 알아봅시다.

 

연립방정식의 해의 종류

연립방정식의 해의 종류는 다음과 같이 유일한 해를 갖거나, 무수히 많은 해를 갖거나, 해를 아예 갖지 않는 경우 $3$가지로 나눌 수 있습니다. 연립방정식에 같은 식이 중복해서 있는 경우가 아닌 일반적인 상황에서

 

1. 미지수의 개수와 방정식의 개수가 같으면 이 연립방정식의 해는 단 하나로 유일하게 존재하고 기하학적으로는 점으로 표현됩니다.

 

2. 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많다면 이것은 해가 무수히 많은 경우라고 하고 부정이라고도 합니다. 이 경우에 해는 기하학적으로 한 점이 아닌 직선이나 평면같은 어떤 함수로써 표현됩니다. 이같은 경우, 그 함수가 그리는 그래프 위의 모든 점이 바로 해가 될 수 있습니다.

 

3. 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 적다면 이 연립방정식에 포함된 방정식 전부를 만족시켜주는 그러한 부분이 없기 때문에 해가 없다 또는 불능이라고 합니다.

 

추가로 미지수와 방정식의 개수와는 상관없이 연립방정식이 앞서 설명했던 동차형($b_i = 0$)이라면, 방정식들이 그리는 그래프가 모두 좌표상에서 원점을 지나기 때문에 이 연립방정식은 최소한 $x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0, \cdots, x_n = 0$이라는 자명해를 갖게됩니다.

 

이제 각각의 경우에 대한 예를 살펴봅시다. 먼저 연립방정식을 만족하는 해가 없는 경우입니다.

 

$$\begin{cases}&3x&+&y&=&0\\&\ \ x&-&y&=&0\\&\ \ x&+&y&=&2\end{cases}$$

 

위의 선형연립방정식은 3개의 방정식과 2개의 미지수를 갖는 연립방정식입니다. 위 그래프에서 볼 수 있듯이 세 방정식을 모두 만족하는 해가 없기 때문에 이 식은 불능입니다.

 

이번에는 3개의 미지수와 2개의 방정식을 갖는 선형연립방정식을 살펴보겠습니다. 미지수가 3개이므로 이 방정식이 그리는 그래프는 아래와같이 3차원 공간상에서 표현됩니다. 또한 선형식이기 때문에 평면으로 그려집니다.

 

$$\begin{cases}3x+y+z=2\\x+2y+3z=3\end{cases}$$

 

두 평면이 평행하지 않은 이상, 항상 어느 지점에서 만나게 되어 교선이라는 직선이 생깁니다. 그리고 이 때 두 방정식을 모두 만족하는 부분을 바로 이 직선이라고 할 수 있기 때문에 이 직선 위의 점들이 모두 해가 됩니다. 혹은 두 평면이 완전히 겹쳐진 경우 그 평면 자체가 그 연립방정식의 해가 됩니다.

 

마지막으로 3개의 미지수와 3개의 방정식으로 이루어진 유일한 해를 갖는 선형연립방정식을 예로 들어보겠습니다. 이번에도 미지수가 3개이고 선형이기 때문에 각각의 방정식들은 3차원 공간상에서 평면으로 표현됩니다.

$$\begin{cases}3x-y+z=1\\x+y-z=3\\x+y+z=0\end{cases}$$

 

위의 경우, 각 방정식들이 그리는 평면이 모두 어떤 한 점$A$을 지나게 됩니다. 이 점 $A$의 좌표가 바로 이 선형연립방정식의 유일한 해가 됩니다. 이렇듯 일반적인 상황에 대해서는 우리는 언제나 저런 세 형태의 해의 종류를 보게됩니다.

 

그리고 미지수가 3개를 넘어가는 선형연립방정식의 경우 $n$차원의 평면이 그려지기 때문에 우리가 알고있는 것으로는 마땅히 표현할 방법이 없고 쉽게 상상할 수도 없겠지만 그럼에도 풀이방법은 동일할 것이고 그 해의 종류는 앞서 배운 세 개의 형태를 벗어나지 않을겁니다.