연립방정식이란 여러 방정식들의 묶음으로, 이 방정식들을 모두 만족시키는 해를 찾는 것을 목표로 합니다. 연립방정식의 풀이에는 여러가지 방법이 있으며 이 글은 선형대수학을 배우기에 앞서 행렬을 소개하는 목적으로 정리한 글이기 때문에 일차연립방정식만을 다루고, 행렬 풀이가 아닌 다른 다양한 해법을 소개합니다.
$$\begin{cases}3x&+&4y = 3\\\ \ x&+&2y = 5\end{cases}$$
먼저 가장 간단한 2개의 변수를 갖는 2개의 방정식을 예로 들어보겠습니다. 위의 식은 미지수 \(x, y\)를 갖는 방정식 \(3x+4y=3, x+2y=5\) 의 연립으로 표현되어 있습니다. 연립방정식을 푼다는 것은 바로 이 방정식들을 동시에 만족하는 미지수 \(x, y\)를 찾는다는 것과 같습니다. \(x, y\)에 임의의 값을 넣어서 찾아도 되겠지만 그것보다는 더 좋은 방법을 보도록 합시다.
1. 가감법
가장 처음으로 볼 풀이법은 가감법입니다. 가감법이란 한 방정식의 양 변에 어떤 수를 곱해서 두 방정식에 같은 항을 만들고, 그 후에 방정식끼리 더하거나 빼서 같은 항을 소거하는 방법입니다. 예를 들어볼까요, 먼저 아래쪽 방정식의 양 변에 \(3\)을 곱해줍니다.
$$\begin{cases}3x&+&4y&=3\\\ \ x&+&2y&=5\end{cases} \ \ = \begin{cases}3x&+&4y&= 3\\3x&+&6y&= 15\end{cases}$$
그리고 두 방정식을 빼줍니다. 저는 음수를 만들기 싫어서 아래에서 위로 뺐습니다.
$$\begin{array}{l@{\quad}cr@{}l}&&3x+6y&=&15\\-&&3x+4y&=&3\\\hline&&2y&=&12\\\Leftrightarrow&&y&=&6\end{array}$$
계산결과 \(2y = 12\) 즉, \(y = 6\) 임을 찾아내었습니다. \(y\)를 찾았으니 이제 두 방정식중 아무 식에다 찾은 \(y = 6\) 를 대입해서 남은 \(x\)를 찾아봅시다. 저는 계산하기 간단해보이는 아래쪽 방정식을 선택했습니다.
$$x+2\cdot (6) = 5 $$
$$ x = -7$$
계산해보니 \(y=6\) 에 대응하는 \(x\)값은 \(x=-7\) 이라는 결론을 얻었습니다. 정말 \((-7, 6)\)이 이 연립방정식의 모든 방정식을 만족하는지 검산을 해보도록 하겠습니다. 각각의 방정식에 앞서 구한 \((x, y) = (-7, 6)\)을 대입하면, 첫번째 식은 \(3\)을, 두번째 식은 \(5\)가 나와야됩니다.
$$\begin{cases}3\cdot (-7)&+4\cdot (6) = 24 - 21 &= 3\\(-7)&+2\cdot (6) &= 5\end{cases}$$
가감법으로 해를 잘 구한듯 하네요.
2. 대입법
다음 풀이법은 대입법입니다. 가감법과 본질적으로는 같지만 이 방법은 직접적으로 변수를 소거한다는 느낌이 있습니다. 위에서 쓰였던 연립방정식을 다시 가져와서 예를 들어보겠습니다. 아래쪽 방정식 \(x+2y = 5\) 를 \(x = 5-2y\) 로 정리해서 위쪽 방정식 \(3x+4y = 3\) 의 \(x\)에 대입을 하시면 됩니다.
$$\begin{align}&&3\cdot (5-2y) + 4y &= 3 \ \ (\because x=5-2y)\\\Leftrightarrow &&(15-6y)+4y &= 3\\\Leftrightarrow &&2y &= 12\\\Leftrightarrow &&y&=6\end{align}$$
여기서 \(\because\)는 왜냐하면~ 혹은 ~때문에라는 뜻을 가진 수학기호입니다. 결과는 \(y = 6\)으로 같고, 이제 아까와 같이 아무 방정식의 \(y\)에 \(6\)을 대입해서 \(x\)도 구해볼 수 있습니다.
3. 기하학적인 해석법
이번엔 아예 각각의 방정식을 \(y\)로 정리해서 함수로써 취급하는걸 생각해 보겠습니다. 그렇게 하면 방정식의 시각화에 도움을 줄 수도 있겠네요. 이렇게하면 방정식들이 그리는 그래프들의 교점이 바로 이 연립방정식의 해가 됩니다. \(y\)로 정리한 함수들의 교점은 \(y_1 = y_2\)로 둬서 서로 공유하는 \(x\)점을 계산하는것으로 찾을 수 있습니다.
$$\begin{cases}3x&+&4y_1 = 3\\\ \ x&+&2y_2 = 5\end{cases} \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{cases}y_1=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\\y_2=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{cases}$$
$$\begin{align}\Rightarrow &&-\frac{3}{4}x +\frac{3}{4} &= -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \ \ \ \ (\because y_1 = y_2)\\\Leftrightarrow &&\frac{1}{4}x &= -\frac{7}{4} \\\Leftrightarrow &&x &= -7\end{align}$$
두 함수가 공유하는 \(x\) 점은 \(-7\) 이고 역시 아무 함수 \(y_1\) 또는 \(y_2\) 에 \(x = -7\)을 대입하면 함수가 \(x=-7\) 일 때의 \(y\) 좌표를 구할 수 있습니다.
위와 같이 그래프를 그려보면 두 함수 \(y_1, y_2\)의 교점이 처음 우리가 구했던 연립방정식의 해와 동일한 것을 확인할 수 있습니다. 시각화를 해보니 두 함수가 기울기가 같아서 완전히 포개어지거나 평행해서 교점이 생기지 않는 대해서도 생각해 볼 수 있겠군요. 이 것은 다음 장에서 확인해보도록 합시다.
지금까지 가장 기본적인 연립방정식형태인 해가 유일한 일차연립방정식의 풀이법에 대해 알아보았습니다. 다음 장에서는 더 많은 변수를 취급해보고 해가 없는 경우와 무수히 많은 경우에 대해서도 살펴볼 것입니다.
