토리첼리의 트럼펫(Torricelli's trumpet)은 17세기 이탈리아의 수학자이자 물리학자인 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)의 연구 업적중 하나로, 보통 가브리엘의 나팔(Gabriel's Horn)이라고 알려져 있습니다. 가브리엘은 성경에 나오는 대천사 중 한 명인데 신의 사자로서 그의 강림을 알리는 나팔을 분다고 하네요. 아마 지금 다루는 도형과 닮았기 때문에 이런 별명이 붙은게 아닌가 싶습니다. 이 특별한 도형은 함수 $$y=\frac{1}{x}, (x\ge 1)$$를 \(x\)축에 대해 회전시킨 회전체 도형인데, 이 도형의 특이한 점은 그 부피가 유한한 값을 갖지만 그 겉넓이는 무한으로 계산된다는 점입니다. 특정한 부피 값을 가지는 어떤 한 도형이 그 겉넓이가 무한하다고 한다면 우리에게 있어 그 도형을 상상하는 것은 그리 쉬운 일이 아닐겁니다.
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문제의 도형은 위의 오른쪽 그림과 같이 생겼습니다. 위의 그림으로 보아 \(x\)가 커질수록 회전체의 단면적이 \(0\)에 수렴하기 때문에 직관적으로도 유한 값을 가질 것 같네요. 정말 그러한지 직접 계산해보겠습니다. 이 도형의 부피 \(V\) 는 회전체 부피 공식에 의해 다음과 같이 계산됩니다.
$$\begin{align} V &=\lim_{t \to \infty} \pi \int_{1}^{t} f^2(x) dx\\&=\lim_{t \to \infty} \pi \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx\\&=\lim_{t \to \infty} \pi \left( -\frac{1}{x} \right)\Bigg|_{1}^{t}\\&=\pi \lim_{t \to \infty} 1-\frac{1}{t}\\&=\pi\end{align}$$
계산에 따르면 이 회전체 도형의 부피는 \(\pi\) 이네요. 그렇다면 이제 겉넓이를 한 번 살펴보겠습니다. 부피와는 다르게 \(x\)값이 무한히 커질수록 함수의 자취 또한 한없이 길어지기 때문에 회전체의 겉넓이는 결국 발산할 것도 같습니다. 겉넓이 \(S\) 는 회전체의 겉넓이 공식에 의해 다음과 같이 계산됩니다.
$$\begin{align} S&= \lim_{t\to\infty}2\pi\int_{1}^{t}f(x)ds\\&=\lim_{t\to\infty}2\pi \int_{1}^{t}f(x)\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx}f(x)\right)^2}dx\\&=\lim_{t\to\infty}2\pi\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}dx\\&=\lim_{t\to\infty}2\pi\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx\end{align}$$
진행하다보면 이렇게 계산하기 까다로운 적분식이 나오는데, 이 경우 피적분함수
$$2\pi\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}$$
가 주어진 구간 \((1,\infty]\)에 대해 언제나 양수값만을 가진다는 점을 이용해서 계산이 용이한 다른 적분식을 생각해보고 아래와 같은 부등식 관계를 이끌어내어 간접적으로 풀어보는 방법을 써볼 수 있겠네요.
$$2\pi\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx\ge 2\pi\int_{1}^{t}\frac{1}{x}dx$$
우리가 원하는 식은 \(t\to\infty\)인 상황이므로 위 부등식의 양 변에 \(\lim_{t\to\infty}\)를 취하면 아래와 같이 우리가 구하고자 하는 겉넓이 \(S\) 에 대한 식으로 정리됩니다.
$$\begin{align}\lim_{t\to\infty}2\pi\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx&\ge\lim_{t\to\infty}2\pi\int_{1}^{t}\frac{1}{x}dx\\S&\ge\lim_{t\to\infty}2\pi\int_{1}^{t}\frac{1}{x}dx\\S&\ge\lim_{t\to\infty}2\pi\ ln x|_{1}^{t}\\S&\ge\infty\end{align}$$
간접풀이에 모순도 없고 무한보다 큰건 무한이기 때문에 이 도형의 겉넓이 \(S\) 는 발산한다는 결론을 얻어낼 수 있습니다. 부피는 유한한 값을 갖고 겉넓이는 무한한 이 토리첼리의 트럼펫은 수학적 이상으로만 존재하기 때문에 쉽게 상상할 수 있는 모형은 아니였습니다. 첫 발견 당시 이 모형의 특성은 역설로써 취급되어 왔고 당대 수학자들 사이에서도 많은 논쟁이 있었다고 합니다. 지금까지도 페인트를 부어 이 나팔의 속을 가득 채울 순 있으나 그럼에도 나팔의 안쪽 표면을 완전히 칠할 수 없다라는 비유로 알려져 있습니다.
여담으로 그 반대의 경우, 그러니까 부피는 발산하고 겉넓이는 유한한 모델의 존재성에 대해서는 그러한 조건을 만족하는 도형은 없다는 것이 증명되어 있습니다. 그에 대한 내용은 다음 글에서 다루도록 하겠습니다.
